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Philippe Fortin
AG de l’UPS, juin 2008
(Le défilement de cette présentation est automatique
il est également possible d’appuyer sur la barre d’espace pour
passer à la suite)
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- 1 - Intégration de l’outil informatique
- a) la démarche algorithmique
[…]
- b) Le calcul symbolique et formel. Emploi des calculatrices.
Les étudiants doivent être entraînés à l’utilisation en
mathématiques d’un logiciel de calcul symbolique et formel pour la
résolution de problèmes, la formulation de conjectures, ou la
représentation graphique de résultats. L’utilisation de ce logiciel
évite des calculs fastidieux, et permet l’étude de situations complexes
hors de portée des techniques traditionnelles.
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- (suite…)
- Ils doivent pareillement savoir utiliser une calculatrice possédant des
fonctionnalités de calcul formel.
Ils doivent également savoir utiliser une calculatrice
programmable, dans les situations liées au programme de mathématiques.
Cette utilisation permet notamment la mise en œuvre d’une
partie des algorithmes du programme, à l’occasion des travaux pratiques
de mathématiques.
Ils doivent savoir programmer une instruction séquentielle, une
instruction conditionnelle et une instruction itérative comportant
éventuellement un test d’arrêt.
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- 2 – Propositions d’activités algorithmiques
- 3 – Propositions d’utilisation du logiciel de calcul formel
- En plus des points énumérés aux a) et b) ci-dessus, le logiciel de
calcul formel pourra être utilisé en analyse, en particulier dans les
domaines suivants :
Représentation des surfaces (lignes de niveau)
Etude d’équations différentielles (courbes intégrales)
Approximation des fonctions (séries de Fourier)
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- En l’absence d’une pratique suffisante, on peut très vite se retrouver
dans des situations difficiles.
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- Seule une pratique assez régulière permet d’arriver à un niveau
d’autonomie suffisant.
- Les rares séances informatiques prévues dans le programme de seconde
année ne permettent pas d’atteindre véritablement cet objectif (environ
4-5 séances pour les mathématiques en PSI).
- Une absence d’évaluation de ces compétences à l’écrit du concours peut
conduire à des situations qui ne sont pas satisfaisantes…
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- L’utilisation d’un portable par chaque élève pourrait être une manière
de résoudre ce problème, mais elle se heurte à plusieurs difficultés
- Avec la technologie actuelle, l’autonomie moyenne d’un portable ne
permet pas d’en envisager l’utilisation pour une journée de cours
complète (dans des salles non spécifiquement équipées).
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- La gestion d’un parc de portables soulève de nombreux problèmes :
installation initiale des logiciels, maintenance logicielle ultérieure
(antivirus, mises à jour, sauvegarde…). Aujourd’hui un lycée ne dispose
généralement pas du personnel nécessaire pour l’assurer dans de bonnes
conditions.
- La gestion d’une classe équipée de portables n’est pas non plus
totalement simple si on ne dispose pas des outils adéquats.
- Ces outils sont très polyvalents, peuvent communiquer entre eux,
accéder à Internet…
Il reste encore assez difficile d’en envisager l’utilisation
lors d’un examen.
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- Une nouvelle génération d’outils
de calcul formel
- Depuis quelques années, il est possible d’utiliser des calculatrices
formelles déjà assez évoluées
(La première a été la TI-92 et ses évolutions ultérieures
Voyage 200 et TI-89. Casio propose également la Classpad 300, et HP a
fait une tentative, très limitée, de retour dans ce domaine)
- Une nouvelle génération est maintenant disponible, avec des capacités
de calculs considérablement améliorées.
Cela concerne pour l’instant Texas Instruments avec
TI-Nspire CAS, mais on peut penser que cela deviendra également
rapidement vrai pour d’autres constructeurs.
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- L’expérience d’une classe pilote
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- Un « vrai » logiciel fonctionnant sur un ordinateur
- Une calculatrice totalement compatible.
- L’an prochain, cet
outil offrira aussi la possibilité d’une interaction directe
entre les machines
des élèves et l’ordinateur de
l’enseignant
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- Contrairement aux ordinateurs situés dans une salle informatique peu
utilisable, les calculatrices des élèves étaient en permanence
accessibles.
- Aucune maintenance. Pas de temps perdu.
Il suffit d’appuyer sur la touche ON quand on a besoin de faire
un calcul, et de changer les piles quelques fois dans l’année…
- Il devient ainsi possible d’utiliser l’outil chaque fois qu’il est
opportun de le faire, même si c’est pour une activité de durée très
limitée (parfois moins de 5 minutes dans une séance de deux heures…).
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- Notre classe étant équipée d’un vidéo-projecteur, il était également
possible d’utiliser la version logicielle – totalement compatible - sur
un ordinateur couplé à un vidéo-projecteur.
Il ne s’agit pas d’un simple émulateur, mais d’un véritable
logiciel, utilisant les possibilités supplémentaires offertes par un
ordinateur.
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- Il est possible de distribuer rapidement les documents créés ou utilisés
sur cet ordinateur aux élèves.
Ceux-ci pourront être exploités sur directement sur les
calculatrices, ou sur un ordinateur personnel.
- Il est bien sûr également possible d’échanger ces documents entre
collègues comme nous le faisons aujourd’hui avec les documents Maple ou
Mathematica…
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- Les calculatrices utilisées comportaient également d’autres
fonctionnalités intéressantes pour l’étude d’un problème mathématique,
ou l’introduction d’une notion nouvelle…
- Tableur numérique ou formel
- Outils de représentation graphique et de manipulation d’objets
géométriques
- Programmation évoluée…
Il est possible de traiter toutes les questions généralement
abordées avec Maple (*) dans le cadre du programme de ma classe.
(*) à l’exception de la possibilité de définir des fonctions
agissant sur une autre fonction. Les arguments d’une fonction doivent
être des expressions, des listes ou encore des matrices.
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- Dans certaines situations le travail mathématique intéressant réside
dans la modélisation d’une situation, une mise en équation, la
compréhension des résultats à obtenir…
- Imaginons un problème nécessitant une décomposition en éléments simples…
Confier cette décomposition à une calculatrice n’enlève pas de valeur à
la qualité du travail mathématiques fourni lors de l’étude de cette
activité.
Cela permettra au contraire de libérer du temps pour l’étude
d’autres aspects…
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- Voici d'autres exemples du même type :
- Dans un exercice sur la convergence des séries, recherche rapide d’un
équivalent du terme général d'une série positive...
- Dans un exercice sur l'étude d'une suite de fonctions, visualisation
d’un phénomène de « bosse glissante »...
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- Lors de la résolution d'un système linéaire d'équations
différentielles, recherche des valeurs propres et résolution du système
3x3 permettant de rechercher les constantes définies par les conditions
initiales...
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- Ces outils ne sont pas seulement des outils de résolutions d’exercice,
ils facilitent également la compréhension du cours
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- Un cours sur les coniques pourra facilement être introduit à l’aide de
l’application de géométrie
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- De même, dans un cours sur les séries de Fourier, on pourra étudier la
convergence sur différents exemples.
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- De même, dans un cours sur les séries de Fourier, on pourra étudier la
convergence sur différents exemples.
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- Après un cours sur la dualité, programmation du calcul des polynômes de
Lagrange et construction des polynômes interpolant une famille de
points, ou une fonction.
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- De nombreux élèves ont pris l’habitude de s’auto-contrôler, a
posteriori, à l’aide de leur calculatrice.
Ceci peut augment leur efficacité lors de la préparation des T.D.
- Ils l’utilisent aussi pour rapidement obtenir/tester une hypothèse, ou
pour évaluer la possibilité de donner suite à un choix possible lors de
la résolution d’un exercice
Par exemple, quelle « bonne » majoration utiliser pour
|sin(t)| dans fn(t)=|sin(t)|exp(-nxt)
si l’on souhaite prouver la convergence de la série des intégrales de fn
sur R+* afin de pouvoir utiliser un théorème de convergence
dominée?
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- De nombreux élèves (dont certains d’un niveau assez faible) m’ont
également dit spontanément avoir utilisé leur calculatrice pour vérifier
les étapes d’un calcul aux concours.
Ils ont ainsi pu se « rassurer » dans certaines questions
des épreuves du concours CCP (PSI) cette année…
(par exemple, séries de Fourier dans l’épreuve de math 1, calculs
matriciels dans l’épreuve de math 2…)
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- Il s’agit bien sûr simplement de quelques exemples, et non d’un compte
rendu détaillé d’expérimentation…
La réaction des élèves a été très positive, avec une réelle
appropriation.
Certains ont par exemple développé une bibliothèque de programmes
pour la géométrie, en s’appuyant sur le cours.
(outils pour l’étude des matrices d’isométries, développés par
certains étudiants, puis transférés sur l’ensemble des machines de la
classe).
- Le fait de pouvoir également travailler sur ces documents sur un
ordinateur a ici joué un rôle important, mais la motivation a été
d’autant plus grande qu’il y avait la possibilité d’utiliser ensuite ces
documents sur une calculatrice…
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- Les possibilités offertes par l’outil utilisé ont constitué une aide
très efficace dans la présentation de certaines notions.
- L’illustration de nombreux exemples du cours, faite sur ordinateur, mais
en utilisant le même logiciel que celui disponible sur les
calculatrices, a également eu un effet très positif.
- Grâce à la disponibilité permanente de cet outil, les opportunités
d’utilisation d’un logiciel de calcul formel ont été particulièrement
nombreuses cette année.
On obtient ainsi un impact immédiat bien plus positif que celui
des rares créneaux dédiés à l’utilisation d’un logiciel de calcul formel
en salle informatique.
Il est de plus certain que l’expérience acquise cette année sur
cette plateforme facilitera l’apprentissage de tout autre outil de
calcul formel par la suite.
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Notes
